FORMAS IMPOSIBLES QUE DESAFÍAN LA MENTE

(Traducción al Castellano de un artículo publicado en 'Puzzles, Pitfalls, Paradoxes' por el Dr. Crypton (1). Science Digest, Feb. 1984, pp.92-94)

En una ocasión, Einstein asistió a una conferencia sobre la teoría de la relatividad, la cual había desarrollado siendo apenas un joven de 21 años empleado en la oficina de patentes suiza. En un momento dado, el conferencista, un teórico ruso, comparó uno de los resultados matemáticos de Einstein a "una taza y un platillo mientras vuelan por el espacio". Einstein se levantó y protestó. En un caluroso debate, ambos hombres garrapatearon hilos de ecuaciones incomprensibles. Einstein finalmente se sentó, y el teórico ruso acortó el tiempo de su conferencia y se marchó visiblemente irritado. Algunos de los colegas de Einstein le pidieron explicar en inglés sencillo lo que no le había gustado de la conferencia. "La situación que él describía," dijo Einstein. "El dijo que era como una taza y un platillo en el espacio, pero realmente era como dos tazas y dos platillos."

Uno de los propósitos de la ciencia es desarrollar modelos simples de fenómenos complejos. En este divertido incidente, el modelo particular falla, al menos a los ojos de Einstein, pero la oferta en sí de un modelo sencillo es la ciencia en su mejor expresión.

MODELO DE GLOBO INFLABLE

Los modelos sencillos pueden contener una cantidad extraordinaria de poder explicativo. La asombrosa teoría de que el universo se expande uniformemente en todas direcciones y no tiene centro es a veces explicada mediante un modelo visual. El universo es comparado a un globo esférico que posee puntos pintados en su superficie. Cada punto pertenece a una galaxia. A medida que el globo se infla, todos los puntos se alejan uniformemente unos de otros en todas direcciones. Ningún punto puede ser señalado como el centro de la expansión. Así la expansión, y por ende, el universo, no tienen centro.

El modelo del globo captura otras características del universo. Supongamos que una caricatura, digamos Mickey Mouse, es pintada en el globo. Por la misma medida, mientras el globo se expande, la configuración relativa de las galaxias no cambia.

El modelo del universo como un globo que se infla es uno de los modelos más exitosos de la ciencia. El peligro de los modelos es que pueden ser tomados demasiado literalmente. Nadie en su sano juicio concluiría, basado en el modelo de globo inflable, que el universo está hecho de goma. Pero estaría igualmente equivocado el concluir que el único tipo de movimiento en el universo es la expansión. A un nivel localizado, la distancia entre partículas de materia puede contraerse, en lugar de expandirse. En la evolución estelar, por ejemplo, este movimiento anómalo de contracción en lugar de expansión es el meollo del asunto.

En matemáticas, es aún más fácil confundir el modelo con el fenómeno, pues el fenómeno mismo es a veces evasivo.

Hace unas pocas semanas recibí un grueso paquete de Venezuela. En él había modelos de las más extrañas formas con las que me he topado. Estas formas, que lucen como torcidas rosquillas rectangulares aparecen en las ilustraciones de las dos páginas siguientes. Las rosquillas parecen engañosamente simples, pero bajo cuidadoso escrutinio, desafían la mente.

Tienen menos lados de los que uno esperaría. Y sus interiores, que parecen no ser mas complicados que túneles rectos que tuercen esquinas, están dotadas con magia. Pueden forzar un objeto que se coloca dentro de ellos a que rote mientras se desplaza a lo largo.
Hay dos maneras de apreciar estas curiosas formas. Uno puede sentarse y estudiarlas tal como aparecen en las ilustraciones, maravillándose ante sus asombrosas cualidades. O puede abocarse a comprender su extrañeza, sumergiéndose en lo intrincado de su estructura. Pero debo prevenirlo. Estos monstruos son resbalosos. Eluden el análisis. Aunque no hay nada difícil acerca de la matemática de su estructura, se requiere de mucha visualización y razonamiento abstracto para entenderlos. Para seguir mi argumento, debo urgirle a que construya modelos de estas rosquillas rectangulares. Entonces puede jugar con ellas y ver por sus propios ojos que ellas giran y se tuercen tal como le digo. Yo hice las rosquillas con tiras de cartulina ligera, que doblé y pegué.

Estas rosquillas son versiones tridimensionales de la cinta Möbius (diagrama 1), un objeto peculiar que he explorado en esta columna. Una cinta Möbius puede hacerse dando a una delgada tira de papel un medio giro, y uniendo los extremos para formar un anillo. La manera usual de demostrar esto es corriendo un pincel a lo largo de la cinta. Cuando el pincel llegue de nuevo hasta el comienzo, la cinta entera estará pintada.

Si usted viviera en la superficie de una cinta Möbius y decidiera pasear a todo lo largo de su extensión, tendría que andar el doble de la distancia antes de llegar de vuelta a su posición original (de paso, hace un par de años escuché una canción en radio acerca de tomar un viaje en una cinta Möbius y como cuando estás en la parte de arriba, en realidad estás al revés. Estaría agradecido a quien pudiera enviarme su letra y el nombre del cantante).

Se sorprenderían de saber que nuestro anillo de papel no es realmente una cinta Möbius sino el modelo de una. Una cinta Möbius solo puede existir en lo abstracto. Es una superficie de un solo lado que no tiene altura (espesor) y por tanto no tiene borde. El anillo de papel tiene un espesor, no importa cuan pequeño, que la verdadera cinta Möbius no tiene. Cuando este espesor se toma en cuenta, la cinta Möbius de papel no tiene un solo lado sino dos (tomando el borde o filo como un lado). No caigamos en la tentación de decir que tiene tres lados; los 'dos' lados del borde o filo son realmente uno, y el mismo.

LO GRUESO ES HERMOSO ("Fat is Beautiful")

Sin duda la mayoría de ustedes no estará impresionada con este asunto del espesor. Tampoco yo lo estaba, cuando me lo señalaron por primera vez. Después de todo, para todos los efectos, el anillo de papel no tiene espesor y posee todas las cualidades esenciales de una cinta Möbius. No obstante, unos pocos visionarios asieron el tema del espesor y lo hicieron la base de una nueva y fascinante rama de matemáticas: el estudio de los poliedros toroidales. El principal entre estos visionarios es Gonzalo Vélez Jahn, un profesor de arquitectura de la Universidad Central de Venezuela. Fue él quien me envió las formas mostradas en estas páginas.

Dado que no puede evitarse el hecho que una cinta Möbius tenga espesor, porque no ir con la corriente, pensó Vélez Jahn, e incrementar dicho espesor sustancialmente. Ciertamente, por razones estéticas, por qué no hacer la cinta tan alta como es ancha. La estructura resultante parece una rosquilla o dona torcida con una sección transversal cuadrada. La estructura tiene dos lados. Un lado, que recorre la estructura dos veces, es la superficie de la cinta Möbius. El otro lado, que también recorre la estructura dos veces, es el borde de la cinta Möbius.
Otras permutaciones se sugieren si uno empieza no con una cinta Möbius, sino con un tubo que tenga una sección transversal cuadrada. (Es esencial, si no lo ha hecho todavía, hacer dicho tubo de cartulina delgada). Antes de unir los extremos del tubo para formar una rosquilla, debe darle a un extremo un giro de 90 grados, 180 grados, 270 grados o 360 grados. Si intenta eso, se encontrará que los giros de 90 grados y 270 grados unen cada cara del tubo de cuatro caras a una cara adyacente, resultando en una rosquilla rectangular que tiene un solo lado. El giro de 180 grados produce la misma rosquilla de dos lados que puede obtenerse al incrementar el espesor de una cinta Möbius de papel; la rosquilla tiene dos lados porque el giro de 180 grados conecta cada cara del tubo con su lado opuesto. El giro de 360 grados une cada lado consigo mismo, y así la rosquilla resultante tiene cuatro lados.

ESTRUCTURAS MAGICAS

Vélez Jahn tomó rosquillas rectangulares y eliminó las curvas de aquéllas al colocar ángulos rectos (ver diagramas 2 y 3).
Las estructuras resultantes parecen estar dotadas de magia. Coloque un pincel sobre cualquier cara externa de tal manera que los bordes del pincel coincidan con los bordes de la cara. Manteniendo la coincidencia de los bordes, recorra la estructura con el pincel hasta que llegue de vuelta a donde comenzó. El area pintada se llama anillo de superficie. De cuántos anillos de superficie consiste cada estructura? Determine esto antes de seguir leyendo.
Ocurre que la estructura del diagrama 2 tiene un anillo de superficie y la estructura del diagrama 3 tiene 2. Los anillos están coloreados en los diagramas 4 y 5.
El interior de las estructuras es aún más extraordinario. En el diagrama 2, una tableta ha sido colocada dentro de la estructura de tal manera que fluya a lo largo de las paredes.
Los bordes de la tableta deben estar siempre en contacto con las paredes tanto como sea posible mientras se desliza. La tableta se divide en cuatro cuadrados coloreados para poder seguir así su orientación según se mueve por la estructura. Ocurre que cada vez que la tableta se desplaza una vez alrededor de la estructura, su orientación cambia 90 grados. En otras palabras, la tableta debe dar cuatro vueltas a la estructura ¢Æantes de alcanzar su orientación original!
Las implicaciones son pasmosas. Suponga que el interior de la estructura se divide en cuatro túneles, cada uno correspondiente al camino que sigue uno de los recuadros coloreados, mientras la tableta se desplaza. Ocurre, desde luego, que los túneles están interconectados.
La estructura del diagrama 3 es también mágica. Una tableta cuadrada debe moverse dos veces antes de alcanzar su orientación original. Esto significa que si la estructura se divide en dos túneles, ambos resultan el mismo (uno sólo).


DENTRO DEL AFUERA
Afortunadamente, toda la magia puede ser explicada sin recurrir a matemáticas más elevadas. La estructura del diagrama 2 tiene un anillo de superficie. Esto significa que las paredes están interconectadas. Esto aplica no sólo al interior sino al exterior de las paredes. Piénselo: si las paredes interiores de esta estructura de cuatro caras están interconectadas, un objeto que se mueva a lo largo de una "pared" interior tendrá que desplazarse cuatro veces antes de regresar a su punto de partida. Un análisis semejante aplica a la estructura del diagrama 3, la cual tiene dos anillos de superficie y por ende dos paredes interiores, cada una de las cuales da vuelta dos veces alrededor.
La operación de unir los extremos de un tubo torcido no necesita restringirse a un tubo con una sección transversal cuadrada. En principio, la única restricción en la sección transversal es que sea un polígono regular: una figura de plano, cerrada, bordeada por líneas rectas de igual longitud. Un tubo cuyos extremos son polígonos se llama poliedro. Para complicar las cosas, los matemáticos usan la palabra torus para la forma que llamamos rosquilla. Así, las rosquillas torcidas son para los cognoscenti poliedros toroidales. Recuerde usar esto para impresionar en la próxima fiesta.

(1) Paul Hoffman, también conocido por el seudónimo “Dr. Crypton” es el anfitrión de la serie de televisión de PBS “Great Minds of Science”. Fue Presidente y Editor en Jefe de Discover, durante una década. Autor de una biografia de Paul Erdos, “The man who only loved numbers”. Autor de más de diez libros, vive en Chicago y en Nueva York.